Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65799  (#11)

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65800  (#12)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB₁ – его симедиана, луч BB₁ вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC, а луч BH_B вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки H_A, H_C, T, L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65801  (#13)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65802  (#14)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65803  (#15)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC  O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями