Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66158 (#10.4)

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Петров Ф.

На доске выписаны в ряд n положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n. Вася хочет выписать под каждым числом a_i число b_i ≥ a_i так, чтобы для каждых двух из чисел b₁, b₂, ..., b_n отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство b₁b₂...b_n ≤ 2^(n–1)/2a₁a₂...a_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66165 (#11.4)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кноп К.А.

У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона ("рубашка") у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд n > 1 карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем k фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66151 (#9.5)

Темы:	[	Доказательство от противного	]
Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших чем (n – 1)!. Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил 100 = 14·7 + 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66159 (#10.5)

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66160 (#11.5)

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]