Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 819]

Задача 66917

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Burek D.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABD$ лежит на прямой $CF$, где $F$ – проекция $D$ на $AB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66918

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Акопян А.В.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 66945

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Кухарчук И.

В параллелограмме $ABCD$ точки $E$ и $F$ выбираются на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно так, что $EF=ED=DC$. Пусть $M$ – середина $BE$, а $MD$ пересекает $EF$ в точке $G$. Докажите, что углы $EAC$ и $GBD$ равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67087

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Салимова А.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 67088

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Москвитин Н.А.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 819]