Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]

Задача 67022 (#5)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кушнир А.Ю.

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны.
Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67023 (#6)

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67013 (#1)

Тема:

[

Простые числа и их свойства

]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Автор: Акулич И.Ф.

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность $n - p$ также является простым числом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67024 (#2)

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67025 (#3)

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Кулыгин А.К.

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]