Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан выпуклый многоугольник A₁...A_n. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника A_iA_{i + 1}A_{i + 2} содержит весь многоугольник.

   Решение

---

По трём пустым сундукам разложили 40 золотых и 40 серебряных монет, причем в каждый сундук – монеты обоих видов. В первом сундуке оказалось золотых монет на 7 больше, чем серебряных, а во втором сундуке – серебряных монет на 15 меньше, чем золотых. Каких монет больше в третьем сундуке и на сколько?

   Решение

---

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

   Решение

---

Высота конуса равна h , а образующая равна l . Найдите радиус основания и площадь осевого сечения.

   Решение

---

Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным a .

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67087

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67088

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67089

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67090

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67091

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Вписанная и вневписанная окружности треугольника $ABC$ касаются отрезка $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Докажите, что $PP' > QQ'$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями