Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XIX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2023 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Из тридцати пунктов A1, A2, ..., A30, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с MN следующие углы:
Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих,
никуда не сворачивая, по этим дорогам с одинаковой скоростью.
На каждом из перекрёстков установлено по шлагбауму. Как только первая по
времени машина проезжает перекрёсток, шлагбаум закрывается и преграждает путь
всем следующим машинам, попадающим на этот перекрёсток. Какие из машин
проедут все перекрёстки на своём пути, а какие застрянут?
Решение
Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.
Решение
Убрать все задачи
Из тридцати пунктов A1, A2, ..., A30, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с MN следующие углы:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| 60o | 30o | 15o | 20o | 155o | 45o | 10o | 35o | 140o | 50o | 125o | 65o | 85o | 86o | 80o | |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | |
| 75o | 78o | 115o | 95o | 25o | 28o | 158o | 30o | 25o | 5o | 15o | 160o | 170o | 20o | 158o | |
РешениеПусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.)
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$, а угол $C$ в полтора раза больше угла $A$. Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла. Определите, какой из них больше?
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$. Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$, причем $BZ=AD$ и $BT=DC$. Пусть $M_1$ – середина $XY$, $M_2$ – середина $ZT$. Докажите, что прямые $DM_1$, $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.
Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$.
Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 67219 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67218 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67220 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67206 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67207 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
