Версия для печати
Убрать все задачи

---

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

   Решение

---

Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)

   Решение

---

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78287  (#1)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ] [ Композиции симметрий ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78288  (#2)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

ABC – равнобедренный треугольник;  AB = BC,  BH – высота, M – середина стороны AB, K – точка пересечения BH с описанной окружностью треугольника BMC. Доказать, что  BK = ³/₂ R,  где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78289  (#3)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы "Г".
Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78290  (#4)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78291  (#5)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Системы точек ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями