Версия для печати
Убрать все задачи
Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ лишь то, что многочлен $P(x) + P(-x)$ имеет ровно $45$ различных действительных корней. Барон, не зная даже, чему равно $n$, утверждает, что может определить один из коэффициентов $a_n$, $\dots$, $a_1$, $a_0$ (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?
Решение
В квадратном листе бумаги площади $1$ проделали дыру в форме треугольника (вершины дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугольник площади $\frac16$.
Решение
Разделить циркулем и линейкой отрезок на 6 равных частей, проведя не более 8
линий (прямых, окружностей).
Решение
В каждую клетку доски $8\times 8$ вписано натуральное число так, что выполнено условие: если из одной клетки в другую можно перейти одним ходом коня, то отношение чисел в этих двух клетках является простым числом. Могло ли оказаться, что в какую-то клетку вписано число $5$, а в какую-то другую – число $6$?
Решение
а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно
узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать,
сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба
радиоактивных шара.
б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.
Решение
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1966 год
>>
8 класс, 2 тур
