Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]

Задача 79364

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Симметричная стратегия	]

Сложность: 4-
Классы: 8

Коля и Витя играют в следующую игру на бесконечной клетчатой бумаге. Начиная с Коли, они по очереди отмечают узлы клетчатой бумаги — точки пересечения вертикальных и горизонтальных прямых. При этом каждый из них своим ходом должен отметить такой узел, что после этого все отмеченные узлы лежали в вершинах выпуклого многоугольника (начиная со второго хода Коли). Тот из играющих, кто не сможет сделать очередного хода, считается проигравшим. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Задача 79368

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79373

Темы:	[	Производные высших порядков	]
	[	Интеграл и первообразная	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

Прислать комментарий Решение

Задача 79374

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Покрытия	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых больше ${\frac{1}{9}}$ . (Сравни с задачей 78201.)

Прислать комментарий Решение

Задача 79370

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Конягин С.В.

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и a_n ≤ n¹⁰ при любом n?

б) Тот же вопрос, если a_n ≤ n при любом n.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]