Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79395 (#1)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Сидоренко А.Ф.

Дано число, имеющее нечётное число разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79396 (#2)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ненашев С.

Натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что каждое не превышает своего номера (a_k ≤ k) и сумма всех чисел – чётное число.
Доказать, что одна из сумм a₁ ± a₂ ± ... ± a_n равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79397 (#3)

Темы:	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Многоугольники (неравенства)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

X и Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник X содержится внутри Y. Пусть S(X) и S(Y) — площади этих многоугольников, а P(X) и P(Y) — их периметры. Доказать, что ${\frac{S(X)}{P(X)}}$ < 2^. ${\frac{S(Y)}{P(Y)}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 74220 (#4)

Темы:	[	Теория множеств (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Федоров А.

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Прислать комментарий Решение

Задача 79399 (#5)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

У правильного 1981-угольника отмечены 64 вершины. Доказать, что существует трапеция с вершинами в отмеченных точках.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]