ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Дана равнобокая трапеция ABCD  (AD || BC).  На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.

Вниз   Решение


Во дворе, где проходят четыре пересекающиеся тропинки, растёт одна яблоня (см. план).

Посадите ещё три яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.

ВверхВниз   Решение


Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 79400  (#1)

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k) . (1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79401  (#2)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 11

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79402  (#3)

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что последовательность xn = sin(n2) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79403  (#4)

Темы:   [ Ломаные внутри квадрата ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79404  (#5)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Формула Герона ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Радиус вписанной в треугольник окружности равен $ {\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .