Версия для печати
Убрать все задачи
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из
четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
Решение
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
Решение
Найдите все углы
α , для которых набор чисел
sinα ,
sin2
α ,
sin3
α совпадает с набором
cosα ,
cos2
α ,
cos3
α .
Решение
Зайцы распилили несколько бревен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько бревен они распилили?
Решение
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском
алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?
Решение
Две окружности пересекаются в точках
A и
B. Точка
X
лежит на прямой
AB, но не на отрезке
AB. Докажите,
что длины всех касательных, проведенных из точки
X к окружностям,
равны.
Решение
В треугольнике ABC угол C – прямой. На стороне AC
нашлась такая точка D, а на отрезке BD – такая точка K, что ∠B = ∠KAD = ∠AKD.
Докажите, что BK = 2DC.
Решение
Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Решение
Фильтр
