Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56872 (#05.037)

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56873 (#05.038)

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 56874 (#05.039)

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Прислать комментарий Решение

Задача 56875 (#05.040)

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

Прислать комментарий Решение

Задача 56876 (#05.041)

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁ — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 1956]