Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

Площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны S и S₁, причем треугольник ABC не тупоугольный. Наибольшее из отношений  a₁/a, b₁/b и c₁/c равно k. Докажите, что  S₁ k²S.

Прислать комментарий

Решение

а) Точки B, C и D делят (меньшую) дугу AE окружности на четыре равные части. Докажите, что  S_ACE < 8S_BCD.
б) Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности. Через середину D (меньшей) дуги BC проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Докажите, что  S_BCD < 2S_MAN.

Прислать комментарий

Решение

Все стороны выпуклого многоугольника отодвигаются во внешнюю сторону на расстояние h. Докажите, что его площадь при этом увеличится больше чем на  Ph + h², где P — периметр.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике площади S найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше S/6.
б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади S найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше S/8.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]