Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 56]
Задача
109759
(#02.5.10.1)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P² + Q² = R². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Задача
108137
(#02.5.10.2)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10
|
Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к ω, проведённая через точку B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что AM = AD и BK = BC. Докажите, что ABCD – трапеция.
Задача
109761
(#02.5.10.3)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого натурального числа n > 10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < m – n < 3 
.
Задача
109762
(#02.5.10.4)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
Задача
109763
(#02.5.10.5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что 
Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 56]
Фильтр
