Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108226  (#05.5.11.3)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки подобия ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109818  (#05.5.11.4)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа x, y, z  (x > 2,  y > 1)  таковы, что  x^y + 1 = z².  Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что  p ≥ q + 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109819  (#05.5.11.5)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109820  (#05.5.11.6)

Темы:   [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P₁ , P₂ , P12 , ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P₂ пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P₁ и P₃ , P₃ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₂ и P₄ , и т.д., P12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11 и P₁ , P₁ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12 и P₂ ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108227  (#05.5.11.7)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Описанные четырехугольники ] [ Подобные фигуры ] [ Удвоение медианы ] [ Углы между биссектрисами ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда  OA·OC = OB·OD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями