Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109816  (#05.5.11.1)

Темы:   [ Уравнения с модулями ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Последовательности функций (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a₁|+..+|x-a50|=|x-b₁|+..+|x-b50|,
где a₁ , a₂ , a50 , b₁ , b₂ , b50 – различные числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109825  (#05.5.11.2)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Процессы и операции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108226  (#05.5.11.3)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки подобия ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109818  (#05.5.11.4)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа x, y, z  (x > 2,  y > 1)  таковы, что  x^y + 1 = z².  Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что  p ≥ q + 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109819  (#05.5.11.5)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями