Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116776  (#11.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116585  (#9.7)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A₀C₀, где A₀ и C₀ – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116586  (#10.7)

Темы:   [ Раскраски ] [ Шахматная раскраска ] [ Процессы и операции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан квадрат n×n. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких n за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116601  (#11.7)

Темы:   [ Тригонометрический круг ] [ Тригонометрия (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций  y = sin ax,  y = sin bx  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции  y = sin cx  проходит через все отмеченные точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116761  (#9.7)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их a и b) и заменить их на числа  a² – 2011b²  и ab. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями