Фильтр
Задачи
Задача 116889 |
|
|
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Решение
Рассмотрим функцию f(x) = ax² + bx + c.
Первый способ. Предположим, что данное уравнение не имеет корней на интервале (0, 1). Тогда, в силу непрерывности, функция f(x) сохраняет знак на этом промежутке. В частности, f(0) = c, f(½) = ¼ (a + 2b + 4c), f(1) = a + b + c – числа одного знака (f(0) и f(1) могут равняться нулю). Следовательно, число f(0) + 4f(½) + f(1) = 2a + 3b + 6c имеет тот же знак, что f(½). Противоречие.
Второй способ. f(0) = c, f(⅔) = 1/9 (4a + 6b + 9c) = 1/9 (– 12c + 9c) = – c/3. Если c = 0, то f(⅔) = 0. Если же c ≠ 0, то на концах отрезка [0, ⅔] функция f принимает значения разных знаков. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Третий способ. значит, функция f принимает на отрезке [0, 1] как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой его внутренней точке.
|
|
Задача 116926 |
|
|
В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол А.
Решение
Продлив медиану АМ на ее длину, получим параллелограмм ABDC (см. рис.). В треугольнике АВD проведём медиану DE, тогда АЕ = ½ АВ = AD. Таким образом, треугольник АDЕ – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Следовательно, медиана DE треугольника АВD равна половине стороны АВ, к которой она проведена; значит, этот треугольник – прямоугольный. Тогда ∠ВАС = ∠ВAD + ∠СAD = ∠ВAD + ∠ADB = 150°.
Ответ
150°.
|
|
|
Задача 116927 |
|
|
На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?
Решение
Согласно первому условию количество приехавших школьников не больше 19·6 + 4 = 118.
Из второго условия следует, что это количество не меньше 22·5 + 8 = 118.
Таким образом, на турнир приехало ровно 118 школьников.
Ответ
118.
|
|
|
Задача 116928 |
|
|
Решите уравнение: .
Решение
Воспользуемся тем, что a + a–1 ≥ 2 при а > 0 (см. эадачу 30861).
Заметим, что x = 1 является корнем данного
уравнения и докажем, что других корней нет. Действительно, если x < 1, то x2012 + x–2012 ≥ 2 > 1 + x2013; а если x > 1, то x2012 < x2013, а x–2012 < 1. В обоих случаях равенство невозможно.
Ответ
x = 1.
|
|
|
Задача 116929 |
|
|
На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.
Решение
Пусть ∠MKB = ∠MNC = α, ∠KMB = ∠KNA = β (см. рис.). Из треугольника KMB получим, что α + β = 120°. Теперь из треугольников NKA и NMC видно, что ∠NKA = α, ∠NMC = β.
Значит, и углы, вертикальные углам NKA и NMС, равны α и β соответственно. Следовательно, лучи KB и MB являются биссектрисами внешних углов треугольника KNM. Так как биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла при третьей вершине пересекаются в одной точке, то NB – биссектриса угла MNK.
|
|
|
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]
