Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65245  (#10.4)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

  Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что  a_n = a  и  a_i+1 = a_i – S(a_i)  при всех  i = 0, 1, ..., n – 1.  Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65253  (#11.4)

Темы:   [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дано натуральное число  n > 3.  Назовём набор из n точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен P(x) разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика P(x) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем k любой допустимый набор из n точек можно разделить многочленом степени не более k?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65239  (#9.5)

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65246  (#10.5)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на n одинаковых фигурок из k клеток.
Докажите, что его можно разрезать и на k одинаковых фигурок из n клеток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65254  (#11.5)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина k-го прыжка равна  2^k + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями