Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 65369 (#9.1)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Мухин Д.Г.

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65368 (#9.2)

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Точка Микеля	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65370 (#9.3)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Полянский А., Харитонов М.

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65371 (#9.4)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Якубов А., Крутовский Р.

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65372 (#9.5)

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AH_c, CH_a пересекаются на средней линии треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]