Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 66952 (#16 [9-11 кл])

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бибиков П.

Рассмотрим две окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга внутренним образом в точке $A$. Пусть хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $K$. Пусть также $O$ – центр $\omega$. Тогда окружность $BOC$ делит отрезок $AK$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66953 (#17 [9-11 кл])

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Севастьянов С.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

Прислать комментарий Решение

Задача 66954 (#18 [10-11 кл])

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66955 (#19 [10-11 кл])

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Точка $P$ лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PAB$ и $PCD$ пересекаются в точке $Q$, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PBC$ и $PAD$ – в точке $R$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 66956 (#20 [10-11 кл])

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]