Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
45 турнир (2023/2024 год)
>>
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m!! = n!$. (Двойной факториал $m!!$ — это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $m$ и имеющих ту же чётность, что $m$. Например, $5!! = 15$, $6!! = 48$).
В пространстве расположили конечный набор кругов радиуса $1$. Круги могут пересекаться друг с другом, но не проходят через центры друг друга. В центре каждого круга зажгли точечную лампочку, светящую во все стороны. Могло ли случиться, что любой луч света, выходящий из центра любого круга, упирается в какой-то другой круг?
В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку $C$ хорошей, если в какой-то из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на $1$ больше, чем в $C$, а в какой-то другой из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на $3$ больше, чем в $C$. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток?
Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.
Дан многочлен степени $n > 0$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме $1$, $-1$ и $-2$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 67430 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67431 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67432 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67433 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67434 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
