В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.

   Решение

На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 65]      

Точки K и M лежат на рёбрах соответственно CD и AB пирамиды ABCD . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K и M параллельно прямой AD .

Прислать комментарий

Решение

Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, лежащие в трёх гранях пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Сторона основания MNP правильной пирамиды MNPQ равна 5. Основанием правильной пирамиды SABCD является квадрат ABCD . Все вершины пирамиды SABCD расположены на рёбрах пирамиды MNPQ , причём вершина S лежит на ребре QM и MS=MQ . Найдите объём пирамиды SABCD .

Прислать комментарий

Решение

Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S₁ , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S₂ , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 65]