Версия для печати
Убрать все задачи

---

В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)

   Решение

---

В равнобедренный треугольник ABC  (AB = BC)  вписана окружность. Прямая, параллельная стороне BC и касающаяся окружности, пересекает сторону AB в такой точке N такой, что  AN = ⅜ AB.  Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 12.

   Решение

---

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус r_a вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79382

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Десятичная система счисления ] [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35077

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n. Докажите, что все члены этой последовательности различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30609

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что  a_n+2 = a_n+1a_n + 1 при всех n.
  а)  a₁ = a₂ = 1.  Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
  б) Докажите, что  a_n – 22  – составное число при любом n > 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98235

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98246

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями