Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что  MN = AM + BN  и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

   Решение

Докажите, что сумма всех чисел вида ¹/_mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.

   Решение

В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN, а из вершины D – высоты DP и DQ.
Докажите, что точки M, N, P и Q являются вершинами прямоугольника.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

Прислать комментарий

Решение

Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d – одна из его диагоналей. Докажите, что a2 + b2 + c2 d2 .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых есть наименьшее из расстояний между точками этих прямых.

Прислать комментарий

Решение

В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]