Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 606]      

Найдите все такие пары  (a, b)  натуральных чисел, что при любом натуральном n число  aⁿ + bⁿ  является точной (n+1)-й степенью.

Прислать комментарий

Решение

Из колоды вынули семь карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по три карты, а оставшуюся карту
  а) спрятали;
  б) отдали Коле.
Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры происходят открытым текстом.)

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для простого числа p вида  4k + 1  числа x = ± (2k)!  являются решениями сравнения  x² + 1 ≡ 0 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.
б) Из любых  2n – 1  целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число c_k, что   ≥ c_k  для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение c_k.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 606]