Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 150]
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника,
причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей
длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в
каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.
а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только
из этой бойницы, надежна?
б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы
больше 1/2.
в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система
бойниц с суммарной длиной, меньшей s.
Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева – не пятёрка?
а) Какое наибольшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно незакрашенное поле?
б) Какое наименьшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно чёрное поле?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами.
Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как
произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?
Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 150]
Фильтр
