Каталог по темам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 694]

Задача 107677

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Таблица имеет форму квадрата со стороной длины n. В первой строчке таблицы стоит одно число – 1. Во второй – два числа – две двойки, в третьей – три четвёрки, и т.д.:

(здесь нарисован квадрат 4×4). В каждой следующей строчке стоит следующая степень двойки. Длина строчек сначала растёт, а затем убывает так, чтобы получился квадрат. Докажите, что сумма всех чисел таблицы есть квадрат некоторого целого числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107761

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Обратный ход	]
	[	Уравнения с модулями	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шабат Г.Б.

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями: x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|, причём 0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107848

Темы:	[	Отношение порядка	]
Темы:	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Некоторые из чисел a₁, a₂, ..., a₂₀₀ написаны синим карандашом, а остальные — красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀ содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.

Прислать комментарий Решение

Задача 107989

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Гашков С.Б.

При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа A + B?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109019

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из таблицы

выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 694]