Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 368]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77885

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найти такие целые числа x, y, z и t, что  x² + y² + z² + t² = 2xyzt.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79285

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109547

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109594

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Перебор случаев ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа  p² + qs  и  p² + qr  – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109773

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Из промежутка  (2²ⁿ, 2³ⁿ)  выбрано  2^2n–1 + 1  нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 368]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями