а) Докажите, что    где a₀, ..., a_n – рациональные числа.

б) Найдите эти представления в явном виде для  n = 2, 3, 4, 5.

в) Выразите sinⁿx при чётном n в виде    а при нечётном – в виде  

   Решение

На продолжении стороны AC (за точку A) остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC (за точку C) отмечена точка E, причём  AD = CE.  Известно, что  2∠A = ∠C. Докажите, что ∠CDE < ½ (∠ABD + ∠A).

   Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .

   Решение

Попарные расстояния между точками A₁,..., A_n больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше , можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A₁,..., A_n.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 62]      

Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр. Докажите, что S = .

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?

Прислать комментарий

Решение

Три окружности радиусов 6, 7 и 8 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Стороны треугольника равны 10, 17, и 21. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 62]