Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 79]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На сторонах
AB,
BC,
CA правильного треугольника
ABC найти такие точки
X,
Y,
Z
(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми
CX,
BZ,
AY, была вчетверо меньше площади треугольника
ABC и чтобы было выполнено
условие:
$$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и 100 – N точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть
M — центр масс
n-угольника
A1...
An;
M1,...,
Mn — центры масс (
n - 1)-угольников,
полученных из этого
n-угольника выбрасыванием вершин
A1,...,
An соответственно. Докажите, что многоугольники
A1...
An
и
M1...
Mn гомотетичны.
По случаю празднования дня Смеха Джон и Иван приготовили себе по коктейлю. Джон смешал виски с ликёром, а Иван – водку с пивом. Известно, что виски крепче водки, а ликёр крепче пива. Можно ли утверждать, что Джон пьёт более крепкий коктейль?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше – 1/n.
Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 79]
Фильтр
