Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

   Решение

---

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

   Решение

---

Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109657

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Существуют ли такие действительные числа b и c, что каждое из уравнений  x² + bx + c = 0  и  2x² + (b + 1)x + c + 1 = 0  имеет по два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109723

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110039

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Миша решил уравнение  x² + ax + b = 0  и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115392

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".
Экзаменатор: "Неверно".
Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".
Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64192

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Инварианты ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На доске было написано уравнение вида  x² + px + q = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами p и q. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стёртого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями