Каталог по темам

Задачи

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 298]

Задача 73689

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10

Автор: Харазишвили А.Г.

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109732

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Прислать комментарий Решение

Задача 57789

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На прямых AB, BC, CA даны точки C₁ и C₂, A₁ и A₂, B₁ и B₂. Точки C₁ и C₂ определяют числа $\gamma_{1}^{}$ и $\gamma_{2}^{}$ , для которых (1 + $\gamma_{1}^{}$ ) $\overrightarrow{AC_1}$ = $\overrightarrow{AB}$ и (1 + $\gamma_{2}^{}$ ) $\overrightarrow{C_2B}$ = $\overrightarrow{AB}$ ; числа $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₂B₁, B₂C₁ и C₂A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.

Замечание. При $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{2}^{}$ = 0 точки A₂, B₂, C₂ совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{1}^{}$ $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{1}^{}$ $\gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. (Действительно, совпадение точек A₁ и A₂ эквивалентно тому, что ${\frac{1}{\alpha_1}}$ + ${\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57790

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Пусть ( $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ ) и ( $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , $\gamma_{2}^{}$ ) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN² = S_A( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ )² + S_B( $\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$ )² + S_C( $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ )²,

где S = 2Sctg $\omega$ для произвольного угла $\omega$ , A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57791

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что величина S, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) S_A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$ , S_B = ${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$ , S_C = ${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$ .
б) S_A + S_B = c², S_B + S_C = a², S_C + S_A = b².
в) S_A + S_B + S_C = S, где $\varphi$ — угол Брокара.
г) S_AS_B + S_BS_C + S_CS_A = 4S².
д) S_AS_BS_C = 4S²S - (abc)².

Прислать комментарий Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 298]