В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с углом BAD , равным 2 arccos . Сфера касается всех звеньев ломаной ABCC1A1 и пересекает ребро BB1 в точках B1 и M . Найдите объём призмы и радиус сферы, если B1M=1 .

   Решение

На сколько частей делят пространство n плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей прямой?

   Решение

В треугольнике ABC медиана  BD = AB,  а  ∠DBC = 90°.  Найдите угол ABD.

   Решение

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , у которого AB:BC=2:3 . Точки F и F1 – середины рёбер BC и B1C1 соответственно. Сфера касается всех звеньев ломаной AFDD1A1 и пересекает отрезок F1F в точках F1 и E . Найдите объём параллелепипеда и радиус сферы, если F1E= .

   Решение

Точка M — середина отрезка AB. Точки A₁, M₁ и B₁ — проекции точек соответственно A, M и B на некоторую прямую. Докажите, что M₁ — середина отрезка A₁B₁.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 158]      

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Дан биллиард прямоугольной формы. В его углах имеются лузы, попадая в которые шарик останавливается. Шарик выпускают из одного угла бильярда под углом 45^o к стороне. В какой-то момент он попал в середину некоторой стороны. Доказать, что в середине противоположной стороны он побывать не мог.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте многоугольник с нечётным числом сторон, зная середины его сторон.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии.
б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии.
в) Пусть M — конечное множество точек на плоскости. Точку O назовем к почти центром симметриик множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что O будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь M?

Прислать комментарий

Решение

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 158]