Каталог по темам

Задачи

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 204]

Задача 58128

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A₁...A_n с данными величинами углов A_i и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 58138

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S₁₂ $\ge$ $\sqrt{S_1S_2}$ , т.е. $\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$ $\ge$ $\lambda_{1}^{}$ $\sqrt{S_1}$ + $\lambda_{2}^{}$ $\sqrt{S_2}$ (Брунн).

Прислать комментарий Решение

Задача 58139

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

а) Пусть M — выпуклый многоугольник, площадь которого равна S, а периметр равен P; D — круг радиуса R. Докажите, что площадь фигуры $\lambda_{1}^{}$ M + $\lambda_{2}^{}$ D равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ $\displaystyle \pi$ R².

б) Докажите, что S $\le$ P²/4 $\pi$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109507

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Многоугольники (неравенства)	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Интеграл и длина	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника: а) через 3 шага с точностью до 0,3; б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

Прислать комментарий Решение

Задача 58129

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S $\le$ P²/4 $\pi$ , причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 204]