Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 411]
На острове все страны треугольной формы (границы прямые). Если две страны граничат, то по целой стороне. Докажите, что страны можно раскрасить в 3 цвета так, что соседние по стороне страны будут покрашены в разные цвета.
На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.
Назовём натуральное число ровным, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999).
Докажите, что любое n-значное число можно представить как сумму не более чем n + 1 ровных чисел.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников A, B, C не нашлось
трёх судей, один из которых считает, что A – лучший из трёх, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x), что для любого натурального n уравнение f(f(...f(x))) = 0 (n букв "f") имеет ровно 2n различных действительных корней?
Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 411]
Фильтр
