Каталог по темам

Задачи

Страница: << 163 164 165 166 167 168 169 >> [Всего задач: 1547]

Задача 65018

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
	[	Симметрия и построения	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65023

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65042

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Долгирев П.

Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A₁. Точки B₁, C₁ определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65367

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Антропов А., Якубов А.

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C₁, B₁ соответственно, что BB₁ ⊥ CC₁. Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B₁BA, ∠XCB = ∠C₁CA. Докажите, что ∠B₁XC₁ = 90° – ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65691

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Бородин П.А.

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 163 164 165 166 167 168 169 >> [Всего задач: 1547]