Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 122]      

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁.
Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A₁B₁ до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AC – большая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что  AB·AE + AD·AF = AC².

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A₁ и C₁. Докажите, что OB – биссектриса угла A₁OC₁.

Прислать комментарий

Решение

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что   h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

Прислать комментарий

Решение

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 122]