Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 1547]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$. Пусть $M$ – середина $EF$. Докажите, что угол $AMC$ прямой.
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме
квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма
чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют
фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она
перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим
считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)
Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть M – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника ABC. При повороте на 120° вокруг точки M точка B переходит в точку P, при повороте на 240° вокруг точки M (в том же направлении) точка C переходит в точку Q. Докажите, что либо треугольник APQ – правильный, либо точки A, P, Q совпадают.
Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 1547]
Фильтр
