Страница:
<< 74 75 76 77
78 79 80 >> [Всего задач: 411]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно
89 способами.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Последовательность
a1,a2,.. такова, что
a1
(1
,2)
и
ak+1
=ak+
при любом натуральном
k .
Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Каждой стороне
b выпуклого многоугольника
P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в
P, одна из сторон которых совпадает с
b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам
P, не меньше удвоенной площади многоугольника
P.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Дан многоугольник на плоскости, невыпуклый и несамопересекающийся. Д
– множество точек, принадлежащих тем диагоналям многоугольника, которые не
вылезают за его пределы (то есть лежат либо целиком внутри, либо частью внутри,
частью на контуре). Концы этих диагоналей тоже включаются в Д.
Докажите, что любые две точки из Д можно соединить ломаной, целиком
принадлежащей Д.
Страница:
<< 74 75 76 77
78 79 80 >> [Всего задач: 411]
Фильтр
Решение 
