Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 233]

Задача 109727

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

На доску последовательно выписываются числа a₁ = 1, a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2, если число a_n – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае a_n+1 = a_n + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116876

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Функция f(x) такова, что для всех значений x выполняется равенство f(x + 1) = f(x) + 2x + 3. Известно, что f(0) = 1. Найдите f(2012).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60578

[Формула Бине]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

F_n = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$ ,

где $\varphi$ = ${\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $\widehat{\varphi}$ = ${\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60563

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60566

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при n $\geqslant$ 1 и m $\geqslant$ 0 выполняется равенство

F_{n + m} = F_{n - 1}F_m + F_nF_{m + 1}.

Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 233]