Каталог по темам

Задачи

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 [Всего задач: 375]

Задача 64921

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Формула Эйлера	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66146

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB₁C₁ и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A₁, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111721

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Композиции гомотетий	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .

Прислать комментарий Решение

Задача 111598

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116171

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Bнутри окружности зафиксирована точка P. C — произвольная точка окружности, AB – хорда, проходящая через точку P и перпендикулярная отрезку PC. Tочки X и Y являются проекциями точки P на прямые AC и BC. Докажите, что все отрезки XY касаются одной и той же окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 [Всего задач: 375]