Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]

Задача 116141

Темы:	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108246

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Прислать комментарий Решение

Задача 110779

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109732

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Прислать комментарий Решение

Задача 78145

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника равна S. Доказать, что S $\ge$ 10.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]