Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

   Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108909

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что  PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108926

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и CC₁, кроме того, отмечены середины K и L сторон AB и BC соответственно. На прямую CC₁ опущен перпендикуляр AP, а на прямую AA₁ – перпендикуляр CQ. Докажите, что прямые KP и LQ пересекаются на стороне AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111696

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116631

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64392

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями