Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]

Задача 116705

Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Формула включения-исключения	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 11

Автор: Косухин О.Н.

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина S₁ : S?

Прислать комментарий

Решение

Задача 57065

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 65381

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Соколов А.

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109956

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116183

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Покрытия	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Чеботарев А.С.

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]