Каталог по темам

Задачи

Страница: << 223 224 225 226 227 228 229 >> [Всего задач: 1221]

Задача 111851

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 34889

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры	]
	[	Итерации	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости дан невыпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние вершины n-угольника, разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A. Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины отрезка AB. При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена). Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 61535

[Черная пятница]

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Теория вероятностей (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78623

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10²⁰⁰. Доказать, что X делится на 50.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98268

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Итерации	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Кондаков Г.В.

а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 223 224 225 226 227 228 229 >> [Всего задач: 1221]