Каталог по темам

Выбрано 7 задач

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.
Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.

Решение

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Учёный достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.

Решение

Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой. Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Решение

На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2.
а)
$\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}$

б)
$\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25}}\put(35,36){\line(0,1){10}} \put(28,33){\line(0,1){28}} \end{picture}$

Решение

Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360^o/n относительно некоторой точки.

Решение

На плоскости проведены n окружностей так, что любые две из них пересекаются в паре точек, и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей делят плоскость эти окружности?

Решение

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.

Решение

Задача 54079

Задача 53400

Задача 54305

Задача 115463

Задача 55265