Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 411]

Задача 60323

Темы:	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Прислать комментарий Решение

Задача 60333

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Выпуклая оболочка. Докажите, что для любого числа точек плоскости найдется выпуклый многоугольник с вершинами в некоторых из них, содержащий внутри себя все остальные точки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60424

[Треугольник Лейбница]

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется треугольником Лейбница. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60564

[Тождество Кассини]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Тождество Кассини. Докажите равенство

F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n² = (- 1)ⁿ (n > 0).

Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66558

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы $20^{20}$-головому Змею?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 411]