Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]

Задача 61248

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6 ) следуют равенства

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos $\displaystyle \alpha$ ,

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos $\displaystyle \beta$ ,

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos $\displaystyle \gamma$ ,

tg $\displaystyle {\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}$ ,

(8.8)

где 2p = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 64637

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65390

Темы:	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Малые шевеления	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Маркелов С.В.

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

Прислать комментарий

Решение

Задача 87077

Темы:	[	Сферы (прочее)	]
Темы:	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольной пирамиде SABC известны плоские углы при вершине S : BSC = 90^o , ASC = ASB = 60^o . Вершины A , S и середины рёбер SB , SC , AB , AC лежат на поверхности шара радиуса 3. Докажите, что ребро SA является диаметром этого шара, и найдите объём пирамиды.

Прислать комментарий Решение

Задача 87112

Темы:	[	Неравенства с трехгранными углами	]
Темы:	[	Полярный трехгранный угол	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше 180^o и меньше 540^o .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]